3.266 \(\int (c+d x)^4 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=469 \[ \frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b} \]

[Out]

((8*I)*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + ((4*I)*d*(c +
d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((
12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((4*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b
^2 - (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))
])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))
])/b^3 - ((24*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))
])/b^5 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((24*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b
^4 + (24*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a
+ b*x])/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.794557, antiderivative size = 469, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 27, number of rules used = 14, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.636, Rules used = {2622, 321, 207, 4420, 6741, 12, 6742, 6273, 4183, 2531, 6609, 2282, 6589, 4181} \[ \frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((8*I)*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + ((4*I)*d*(c +
d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((
12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((4*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b
^2 - (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))
])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))
])/b^3 - ((24*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))
])/b^5 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((24*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b
^4 + (24*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a
+ b*x])/b

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^4 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-(4 d) \int (c+d x)^3 \left (-\frac{\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{\sec (a+b x)}{b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-(4 d) \int \frac{(c+d x)^3 \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right )}{b} \, dx\\ &=-\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(4 d) \int \left (-(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+(c+d x)^3 \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)) \, dx}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\int b (c+d x)^4 \csc (a+b x) \, dx}{b}+\frac{\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\int (c+d x)^4 \csc (a+b x) \, dx\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac{\left (24 d^4\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}+\frac{\left (24 d^4\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{\left (12 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (12 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (24 i d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{\left (24 i d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (24 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}-\frac{\left (24 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{\left (24 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 d^4 \text{Li}_5\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 d^4 \text{Li}_5\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 3.62998, size = 694, normalized size = 1.48 \[ \frac{-4 d \left (3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )-3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c^2 d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c^2 d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b^3 c^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+b^3 d^3 x^3 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-b^3 d^3 x^3 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )\right )+4 i d \left (b^3 (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )+3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )-6 d^2 \left (b (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )+i d \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )\right )\right )-4 i d \left (b^3 (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )+3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )-6 d^2 \left (b (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )+i d \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )\right )\right )+b^4 (c+d x)^4 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )-b^4 (c+d x)^4 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )+b^4 (c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

(b^4*(c + d*x)^4*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - b^4*(c + d*x)^4*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 4*d*((-2*I)*b^3*c^3*Arc
Tan[E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] +
b^3*d^3*x^3*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + I
*E^(I*(a + b*x))] - b^3*d^3*x^3*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a +
b*x))] - (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] -
6*b*d^3*x*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x*PolyLog[3, I
*E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))]) + (4
*I)*d*(b^3*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] - 6
*d^2*(b*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))] + I*d*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])) - (4*I)*d*(b^3*(c + d*x)^3
*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))] - 6*d^2*(b*(c + d*x)*PolyLo
g[4, E^(I*(a + b*x))] + I*d*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])) + b^4*(c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b^5

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.758, size = 1866, normalized size = 4. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

1/b*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^4-1/b^5*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^4+24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))
*x+24*I*d^3/b^4*c*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^2/b^3*c^2*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+4/b*c*d^3*ln(1-exp(I*(b
*x+a)))*x^3+4/b^4*c*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+24*I/b^4*c*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*a-4/b*c*d^3*ln(exp
(I*(b*x+a))+1)*x^3+12*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*c^2*d^2*x+12*I/b^2*c*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2
+12/b^3*d^4*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x^2+12/b^3*c^2*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))-12/b^3*c^2*d^2*polylog(3,-e
xp(I*(b*x+a)))-12/b^3*d^4*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6/b*c^2*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-1/b*d^4*ln(exp(I
*(b*x+a))+1)*x^4-6/b^3*c^2*d^2*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))+4/b*c^3*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+4/b^2*c^3*d*ln(1-exp(
I*(b*x+a)))*a-4/b*c^3*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-24/b^3*c*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x-6/b*c^2*d^2*ln(exp(I*
(b*x+a))+1)*x^2+24/b^3*c*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x+24*I*d^4*polylog(4,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^5+2*exp(I*(b*
x+a))*(d^4*x^4+4*c*d^3*x^3+6*c^2*d^2*x^2+4*c^3*d*x+c^4)/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)-24*d^4/b^4*polylog(3,I*exp(I*(b
*x+a)))*x+24*d^4/b^4*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-4*d^4/b^5*a^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+4*d^4/b^2*ln(1+I*exp(
I*(b*x+a)))*x^3-4*d^4/b^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^3-24*d^3/b^4*c*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))+4*d^4/b^5*a^3*ln
(1+I*exp(I*(b*x+a)))+24*d^3/b^4*c*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^4*polylog(4,I*exp(I*(b*x+a)))/b^5+4*I/b^
2*c^3*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+4*I/b^2*d^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^3-24*I/b^4*d^4*polylog(4,-exp(I*(b
*x+a)))*x-24*I/b^4*c*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))+1/b^5*d^4*a^4*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-12*I/b^3*c^2*d^2*dilog(
1+I*exp(I*(b*x+a)))+12*I/b^3*c^2*d^2*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))-12*I/b^5*d^4*a^2*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))+12*I
/b^5*d^4*a^2*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))+12*I/b^5*d^4*a^2*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-12*I/b^5*d^4*a^2*polylog(
2,I*exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c^2*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-4/b^4
*c*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-4/b^2*c^3*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-4*I/b^2*c^3*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+24*
I/b^4*d^4*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))*x-4*I/b^2*d^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^3+24*I/b^4*c*d^3*polylog(4,exp(I
*(b*x+a)))-12*d^2/b^3*c^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+12*d^3/b^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*d^3/b^2*c*ln(1-I
*exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*I*d^4/b^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+12*I*d^4/b^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x^
2-8*I*d^4/b^5*a^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+8*I*d/b^2*c^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+12*d^3/b^4*c*a^2*ln(1-I*exp(I*(b
*x+a)))+12*d^2/b^2*c^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^2/b^3*c^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-12*d^3/b^4*c*a^2*ln(1+
I*exp(I*(b*x+a)))-12*d^2/b^2*c^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x+24*d^4*polylog(5,-exp(I*(b*x+a)))/b^5-24*d^4*polylog
(5,exp(I*(b*x+a)))/b^5-12*I/b^2*c^2*d^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-1/b*c^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+1/b*c^4*ln(ex
p(I*(b*x+a))-1)-12*I/b^2*c*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-24*I/b^4*c*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*a+24*
I/b^4*c*d^3*a*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))-24*I/b^4*c*d^3*a*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 9.45849, size = 7688, normalized size = 16.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(c^4*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1)) - 4*a*c^3*d*(2/cos(b*x + a) - log(co
s(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1))/b + 6*a^2*c^2*d^2*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b
*x + a) - 1))/b^2 - 4*a^3*c*d^3*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1))/b^3 + a^4*d^4
*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1))/b^4 + 2*((8*b^3*c^3*d - 24*a*b^2*c^2*d^2 + 2
4*a^2*b*c*d^3 + 8*(b*x + a)^3*d^4 - 8*a^3*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d
^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x + a)^3*d^4 - a^3*d^4 + 3*(b*c*
d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-8*I*b^3*c^3
*d + 24*I*a*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a^2*b*c*d^3 - 8*I*(b*x + a)^3*d^4 + 8*I*a^3*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*
(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x
+ a), sin(b*x + a) + 1) + (8*b^3*c^3*d - 24*a*b^2*c^2*d^2 + 24*a^2*b*c*d^3 + 8*(b*x + a)^3*d^4 - 8*a^3*d^4 +
24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2
*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x + a)^3*d^4 - a^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*
b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-8*I*b^3*c^3*d + 24*I*a*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a^2*b*c*d^3 - 8*I
*(b*x + a)^3*d^4 + 8*I*a^3*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^
3 - 24*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) - (2*(b*x + a)^4*d^4 +
8*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b
^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^
2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*
x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^4*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 -
24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a^2*b*c*d^3 - 8*I*a^3*
d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (2*(b*x + a)^4*d^4 + 8*(b*c*d^3 -
a*d^4)*(b*x + a)^3 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3
*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*
a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x + a))*cos(2*
b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^4*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3
+ 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a^2*b*c*d^3 - 8*I*a^3*d^4)*(b*x + a)
)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - (4*I*(b*x + a)^4*d^4 + (16*I*b*c*d^3 - 16*I*a*d
^4)*(b*x + a)^3 + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (16*I*b^3*c^3*d - 48*I*a*b^
2*c^2*d^2 + 48*I*a^2*b*c*d^3 - 16*I*a^3*d^4)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (24*b^2*c^2*d^2 - 48*a*b*c*d^3 + 24*(b*
x + a)^2*d^4 + 24*a^2*d^4 + 48*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 +
a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*(b*x +
a)^2*d^4 - 24*I*a^2*d^4 + (-48*I*b*c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a))
- (24*b^2*c^2*d^2 - 48*a*b*c*d^3 + 24*(b*x + a)^2*d^4 + 24*a^2*d^4 + 48*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + 24*(b^2*
c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (24*I*b^
2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + 24*I*a^2*d^4 + (48*I*b*c*d^3 - 48*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(
2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + (8*b^3*c^3*d - 24*a*b^2*c^2*d^2 + 24*a^2*b*c*d^3 + 8*(b*x + a)^3*d^4
- 8*a^3*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 8*(b^3*
c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x + a)^3*d^4 - a^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2
*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-8*I*b^3*c^3*d + 24*I*a*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a^
2*b*c*d^3 - 8*I*(b*x + a)^3*d^4 + 8*I*a^3*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^2*d^2
+ 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - (8*b^3*c^3*d - 24*a*b^
2*c^2*d^2 + 24*a^2*b*c*d^3 + 8*(b*x + a)^3*d^4 - 8*a^3*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^
2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x + a)^3*d^4 - a^3*
d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) +
(8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a^2*b*c*d^3 + 8*I*(b*x + a)^3*d^4 - 8*I*a^3*d^4 + (24*I*b*c*d^3 - 2
4*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog
(e^(I*b*x + I*a)) - (-I*(b*x + a)^4*d^4 + (-4*I*b*c*d^3 + 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*
b*c*d^3 - 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (-4*I*b^3*c^3*d + 12*I*a*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a^2*b*c*d^3 + 4*I*a^3*d^4)*(b
*x + a) + (-I*(b*x + a)^4*d^4 + (-4*I*b*c*d^3 + 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 -
6*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (-4*I*b^3*c^3*d + 12*I*a*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a^2*b*c*d^3 + 4*I*a^3*d^4)*(b*x + a))*c
os(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)
*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(
b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (I*(b*x + a)^4*d^4 + (4*I*b*c*d^3 - 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3
+ (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a
^2*b*c*d^3 - 4*I*a^3*d^4)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^4*d^4 + (4*I*b*c*d^3 - 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (6*I*b^2*c^
2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a^2*b*c*d^3 - 4
*I*a^3*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2
- 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x + a))*si
n(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (-4*I*b^3*c^3*d + 12*I*a*b^2*c^2*d
^2 - 12*I*a^2*b*c*d^3 - 4*I*(b*x + a)^3*d^4 + 4*I*a^3*d^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-12*I*
b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (-4*I*b^3*c^3*d + 12*I*a*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a^2*b*c*d
^3 - 4*I*(b*x + a)^3*d^4 + 4*I*a^3*d^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*
a*b*c*d^3 - 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x
+ a)^3*d^4 - a^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*si
n(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) - (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d^
2 + 12*I*a^2*b*c*d^3 + 4*I*(b*x + a)^3*d^4 - 4*I*a^3*d^4 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2
*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a^2*b*c*d^3 +
4*I*(b*x + a)^3*d^4 - 4*I*a^3*d^4 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*
d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 + (b*x + a)^3
*d^4 - a^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*
x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) - (48*I*d^4*cos(2*b*x + 2*a) - 48*d^4*sin(
2*b*x + 2*a) + 48*I*d^4)*polylog(5, -e^(I*b*x + I*a)) - (-48*I*d^4*cos(2*b*x + 2*a) + 48*d^4*sin(2*b*x + 2*a)
- 48*I*d^4)*polylog(5, e^(I*b*x + I*a)) - 48*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + d^4)*polylog(4,
I*e^(I*b*x + I*a)) + 48*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + d^4)*polylog(4, -I*e^(I*b*x + I*a)) -
(48*b*c*d^3 + 48*(b*x + a)*d^4 - 48*a*d^4 + 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + (48*I*b*c
*d^3 + 48*I*(b*x + a)*d^4 - 48*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + (48*b*c*d^3 + 48*(b*x
+ a)*d^4 - 48*a*d^4 + 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - (-48*I*b*c*d^3 - 48*I*(b*x + a)
*d^4 + 48*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) - (-48*I*b*c*d^3 - 48*I*(b*x + a)*d^4 + 48*I*
a*d^4 + (-48*I*b*c*d^3 - 48*I*(b*x + a)*d^4 + 48*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d
^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) - (48*I*b*c*d^3 + 48*I*(b*x + a)*d^4 - 48*I*a*d^4 + (48*I*
b*c*d^3 + 48*I*(b*x + a)*d^4 - 48*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x +
2*a))*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)^2*d^4 - 24*I*a^2*
d^4 + (-48*I*b*c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a) + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)^2*d^4 - 24
*I*a^2*d^4 + (-48*I*b*c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x +
a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (24*I*b^
2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + 24*I*a^2*d^4 + (48*I*b*c*d^3 - 48*I*a*d^4)*(b*x + a) + (24
*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + 24*I*a^2*d^4 + (48*I*b*c*d^3 - 48*I*a*d^4)*(b*x + a))
*cos(2*b*x + 2*a) - 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))
*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + 4*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2
*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*(b*x
+ a))*sin(b*x + a))/(-2*I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + 2*b^4*sin(2*b*x + 2*a) - 2*I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.35805, size = 6263, normalized size = 13.35 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*b^4*d^4*x^4 + 8*b^4*c*d^3*x^3 + 12*b^4*c^2*d^2*x^2 + 8*b^4*c^3*d*x + 2*b^4*c^4 - 24*d^4*cos(b*x + a)*po
lylog(5, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 24*d^4*cos(b*x + a)*polylog(5, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 24*d
^4*cos(b*x + a)*polylog(5, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 24*d^4*cos(b*x + a)*polylog(5, -cos(b*x + a) - I*
sin(b*x + a)) - 24*I*d^4*cos(b*x + a)*polylog(4, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 24*I*d^4*cos(b*x + a)*polylo
g(4, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 24*I*d^4*cos(b*x + a)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 24*I*
d^4*cos(b*x + a)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-4*I*b^3*d^4*x^3 - 12*I*b^3*c*d^3*x^2 - 12*I*b^
3*c^2*d^2*x - 4*I*b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c
*d^3*x^2 + 12*I*b^3*c^2*d^2*x + 4*I*b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + (12*I*b^2*d
^4*x^2 + 24*I*b^2*c*d^3*x + 12*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (12*I*b^2*d^
4*x^2 + 24*I*b^2*c*d^3*x + 12*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-12*I*b^2*d^
4*x^2 - 24*I*b^2*c*d^3*x - 12*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (-12*I*b^2*d
^4*x^2 - 24*I*b^2*c*d^3*x - 12*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-4*I*b^3*d
^4*x^3 - 12*I*b^3*c*d^3*x^2 - 12*I*b^3*c^2*d^2*x - 4*I*b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x
+ a)) + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c*d^3*x^2 + 12*I*b^3*c^2*d^2*x + 4*I*b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b
*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4)*cos(
b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*co
s(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4
*c^3*d*x + b^4*c^4)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a
^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 +
3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) +
1) + 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x
+ a)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2
*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*
c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) - si
n(b*x + a) + 1) + (b^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*a^2*b^2*c^2*d^2 - 4*a^3*b*c*d^3 + a^4*d^4)*cos(b*x + a)*log(-1/
2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*a^2*b^2*c^2*d^2 - 4*a^3*b*c*d^3 + a^
4*d^4)*cos(b*x + a)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4
*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + 4*a*b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*a^3*b*c*d^3 - a^4*d^4)*cos(b*x + a)*log(-
cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*lo
g(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + 4
*a*b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*a^3*b*c*d^3 - a^4*d^4)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) +
1) + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)
+ I) + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(4, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (-24*I*b*d^4*x
- 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x
+ a)*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (-24*I*b*d^4*x - 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(4, -cos
(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a)) + 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x + a) -
I*sin(b*x + a)) + 24*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 24*(b*d^4*x
+ b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 24*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylo
g(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 24*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*
x + a)) - 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
)) - 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(
b^5*cos(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out